使用Moku:Pro同時(shí)實(shí)現窄線(xiàn)寬激光系統的鎖定和表征應用案例

利用Moku:Pro 的多儀器并行模式，用戶(hù)可以使用激光鎖頻/穩頻器將激光鎖定到光學(xué)腔，無(wú)需額外的測試設備或布線(xiàn)又能同時(shí)使用頻率響應分析儀（FRA）測量 Bode 圖。通過(guò)向誤差信號施加干擾并使用 FRA 測量傳遞函數，可以檢查閉環(huán)增益、相位裕度和環(huán)路干擾抑制性能。用戶(hù)可以在頻率響應分析儀和激光鎖頻/穩頻器之間快速切換，方便靈活地調整 PID 參數同時(shí)并優(yōu)化環(huán)路性能，從而確保穩定性并最大限度地抑制干擾。

在分子和原子物理等高精度測量應用中，具有動(dòng)態(tài)頻率噪聲抑制的激光系統因其良好的長(cháng)期穩定性而得到廣泛應用。要實(shí)現穩定的激光鎖定，需要高度優(yōu)化的反饋控制，這尤其涉及到包括測量： 1) 控制環(huán)路的傳遞函數，確保低頻時(shí)有足夠的增益，同時(shí)保持較低的單位增益頻率，以維持環(huán)路的穩定性；2) 干擾抑制，即通過(guò)測量干擾耦合到激光器中并且穿越整個(gè)系統后的傳遞函數評估系統抗干擾性能。

傳遞函數通?？梢岳L制成Bode圖，表征在設定頻率范圍內的環(huán)路增益和相移。測量閉環(huán)系統干擾抑制的主要挑戰是在不中斷反饋控制的情況下注入噪聲。通常，系統設置非常復雜，不僅需要噪聲源作為注入干擾，又需要網(wǎng)絡(luò )分析儀來(lái)測量響應。

在這篇應用說(shuō)明中，我們將演示如何使用 Moku:Pro 的多儀器并行模式來(lái)表征激光穩定系統的開(kāi)環(huán)和閉環(huán)性能。通過(guò) Moku:Pro，我們可以將激光鎖定在腔體上，注入干擾，并同時(shí)測量開(kāi)環(huán)、閉環(huán)和擾動(dòng)傳遞函數。此外，還可以實(shí)時(shí)調整 PID 參數來(lái)優(yōu)化環(huán)路配置，以確保穩定性、增強干擾抑制和抑制頻率噪聲。Moku:Pro 為激光穩定和特性分析提供了緊湊高效的解決方案。

反饋控制基礎知識

為了更好地理解激光鎖定系統，我們首先需要簡(jiǎn)要回顧一下通用反饋控制原理。通過(guò)分析和推導本節中的干擾抑制方程，我們可以確定在何處注入干擾以及在 Pound-Drever-Hall (PDH) 鎖定過(guò)程中探測環(huán)路響應的位置。

一般來(lái)說(shuō)，我們可以將控制系統分為兩種類(lèi)型，即開(kāi)環(huán)控制系統和閉環(huán)控制系統。主要區別在于前者的控制方式與系統的輸出無(wú)關(guān)，而后者的控制方式依賴(lài)于輸出[1]。通用反饋控制環(huán)路的基本概念是利用當前工作點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的差值作為誤差信號，將系統的輸出維持在一個(gè)恒定的設定點(diǎn)上運行[1]。用于激光穩定的 PDH 鎖定技術(shù)利用腔反射產(chǎn)生誤差信號，并反饋給激光器以保持光源在特定頻率下發(fā)射激光，同時(shí)將激光頻率噪聲降至zui 低。這被視為閉環(huán)控制 [2]?；镜姆答伩刂葡到y通常由三個(gè)部分組成，如圖 1 所示，即被控對象（需要控制的對象）、傳感器（測量被控對象的輸出）和控制器（產(chǎn)生反饋輸入）。

圖 1：典型反饋控制系統框圖。它由三個(gè)主要部分組成：被控對象 (P)、測量特定信號的傳感器 (S) 以及為被控對象生成輸入的執行器或控制器 (C)。

我們可以利用拉普拉斯變換推導出控制系統的傳遞函數，對于給定的時(shí)域信號 f(t)，其定義為 F(s)。

對于圖 1 所示的系統，三個(gè)組件都有自己的傳遞函數，分別用P(s)、S(s) 和 C(s)表示為被控對象、傳感器和控制器。 為了簡(jiǎn)化下面的推導，引入了一個(gè)額外的內部信號并標記為U(s)。 輸入信號為 X(s)，我們可以計算出經(jīng)過(guò)這樣的系統后的輸出信號：

根據公式 (2) 和 (3)，反饋系統（H(s)）的傳遞函數可以通過(guò)輸出拉普拉斯變換與輸入的比值求得：

其中 C(s)P(s)S(s) 是系統的開(kāi)環(huán)增益（有時(shí)也稱(chēng)為返回比），方程 (4) 稱(chēng)為閉環(huán)增益。 到目前為止的分析主要集中在信號的變換上，而在實(shí)際情況中，噪聲的抑制更令人感興趣。 噪聲可以從環(huán)路內的任何地方引入，但這里我們考慮從被控對象引入的噪聲（其他噪聲源也可以通過(guò)相同的步驟分析）。 當引入噪聲 (N(s))進(jìn)行分析, 系統輸出被修正為:

對于具有較大控制增益 (C(s) -> ∞)的系統, 系統的輸出接近輸入, 也稱(chēng)為單位增益。由外部干擾引入被控對象的噪音也被大幅抑制至零點(diǎn)。這類(lèi)干擾的傳遞函數也被稱(chēng)為干擾抑制(或靈敏度函數), 這表征了一個(gè)控制系統應對被控對象輸出出現干擾的靈敏度。和開(kāi)環(huán)傳遞函數相似, 干擾抑制也與頻率相關(guān)。當干擾抑制的幅度超過(guò)單位增益, 這類(lèi)噪聲抑制變得無(wú)效, 相應的頻率因此被稱(chēng)為單位增益頻率。更重要的是, 當開(kāi)環(huán)增益的相位達到180度 (這是 1 + C(s)P(s)S(s) = 0 時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)), 噪聲將被放大, 導致系統不穩定, 尤其是當 C(s)P(s)S(s) 接近 -1 時(shí)。這個(gè)轉換點(diǎn)是反饋系統的另一個(gè)關(guān)鍵參數, 稱(chēng)為相位裕度。閉環(huán)控制的帶寬受單位增益頻率和相位裕度的限制, 如果相位裕度出現在低于單位增益頻率的頻率上, 系統將無(wú)法穩定。

激光反饋控制

下面的激光穩頻系統相當于上一章節討論的反饋控制回路。在這篇應用筆記中, 激光通過(guò)使用PDH鎖頻方法的反饋控制回路被鎖定到一個(gè)光學(xué)腔上。圖 2 說(shuō)明了激光穩頻過(guò)程的反饋回路, 由外部伺服控制與內部 PZT 觸動(dòng)器相結合形成。

圖 2：概念框圖顯示將激光波長(cháng)鎖定在腔諧振上的反饋控制回路。PID 控制器控制激光器內部的 PZT 傳感器。

這里穩頻系統可以理解為激光器是被控對象，其頻率是系統輸出(Y(s))。系統試圖穩定的設定點(diǎn)是光學(xué)參考腔的諧振頻率。輸出在光學(xué)鑒頻器上與設定點(diǎn)做比較。一個(gè)傳感器測量這些信號的差值(S(s)), 其中包括光信號和光電信號, 生成的誤差信號被控制器進(jìn)一步處理。一般控制器也被稱(chēng)為伺服控制(C(s))。它針對被控對象的特性，提供控制信號以減少位置誤差并優(yōu)化驅動(dòng)過(guò)程中的過(guò)沖。這里使用的激光器(Plant 被控對象)一般都是可調諧激光器, 它的頻率能夠根據控制信號通過(guò)內置的 PZT 觸動(dòng)器來(lái)調制。所以, 控制信號被輸入至激光器后生成最終的輸出波長(cháng)。最后這個(gè)輸出信號被反饋回去并刷新反饋信號。

基于觸動(dòng)器的響應, 需要仔細設定控制器的響應和 PID 設置來(lái)保證穩定的反饋和足夠的噪聲抑制。為了更好地理解, 可以通過(guò)測量干擾抑制來(lái)表征整個(gè)系統的閉環(huán)控制響應。我們可以通過(guò)在 Vin 處注入掃頻信號和在 Vout 處得到輸出信號。推導出的相對應頻率響應為:

其中 C(s)、P(s) 和 S(s) 表示控制器(伺服控制)、被控對象(PZT 觸動(dòng)器)和傳感器的作用。公式6中的表達式提供干擾抑制, 公式7表示互補靈敏度函數, 公式8是控制系統的開(kāi)環(huán)增益。

實(shí)驗設置

在這個(gè)實(shí)驗里, Moku:Pro不僅用作鎖相放大器, 也表征了系統的閉環(huán)控制響應。圖3顯示了完整的系統搭建, 圖4演示了多儀器并行模式下的儀器配置。為了達到我們的目的, 我們在4個(gè)獨立的插槽上部署了4個(gè)儀器功能: 分別是激光鎖頻/穩頻、鎖相放大器、PID控制器和頻率響應分析儀。

圖 3：鑒定激光穩定系統回路干擾抑制的實(shí)驗裝置。使用頻率響應分析儀直接測量和生成干擾抑制，同時(shí)使用Moku:Pro 的激光鎖頻/穩頻器將激光鎖定到外部參考腔。通過(guò)將PID 控制器比例增益設置為 0 dB 實(shí)現的注入Injection或加法器Adder。

圖 4：多儀器并行模式下的 Moku:Pro 配置。請注意，由于四個(gè)插槽wan 全相互獨立，因此添加到插槽中的儀器功能順序并不重要。

干擾在誤差信號解調之后但在傳輸到控制器之前被注入。所以我們將激光鎖頻過(guò)程分成兩個(gè)單獨的過(guò)程: 鎖相放大器 (LIA) 通過(guò) Out1 生成調制信號給電光調制器 (EOM), 同時(shí)來(lái)解調誤差信號; 激光鎖頻/穩頻 (LLB) 跳過(guò)解調過(guò)程并只提供伺服控制或者控制信號傳輸回激光器。Out2, 來(lái)自于 LLB 里的快速PID控制器, 隨后被直接連接到激光器的壓電陶瓷來(lái)精確地調控激光器的頻率, Out3 被接到激光器的溫度控制。

同時(shí)我們用頻響分析儀 (FRA) 來(lái)測量閉環(huán)系統的干擾抑制, 這里它生成一個(gè)正弦掃頻偏移信號并使用PID控制器作為加法器來(lái)注入 PID 控制環(huán)路信號 (In 1)。為了實(shí)現這個(gè)求和效果, 我們通過(guò)設置一個(gè)輸入矩陣如

作為加法器來(lái)配置 PID 控制器并且比例增益設置為0dB。加法器的輸出被分成兩路, 一路提供誤差信號給激光鎖頻/穩頻, 另一路被接到  FRA的通道 B來(lái)測量閉環(huán)控制的頻率響應。FRA的通道 A則在注入正弦波之前記錄 PID 控制環(huán)路的頻率噪聲。

激光鎖頻/穩頻器提供伺服控制。通過(guò)三角波掃描來(lái)監測PDH誤差信號, 然后我們調節慢速 PID 偏置來(lái)讓光學(xué)參考腔的諧振頻率接近掃描范圍的中點(diǎn)。然后在系統穩頻前打開(kāi)積分器飽和來(lái)避免過(guò)度補償。我們再選擇載波的過(guò)零點(diǎn)作為鎖頻點(diǎn)并使用“Lock Assist"功能來(lái)進(jìn)行鎖頻, 從而啟動(dòng)快速 PID 控制。最后, 我們禁用積分器飽和來(lái)以啟用全部的積分效應以在低頻段獲得更多增益。您可以在此處找到激光鎖頻/穩頻的詳細說(shuō)明。

在我們成功鎖定激光器頻率到光學(xué)腔上后, 我們切換儀器到頻率響應分析儀, 在那里我們在兩通道上用一個(gè)足夠小的輸出信號(5 mVpp)配置成(In ÷ Out)的測量方式。通過(guò)在感興趣的頻率范圍上進(jìn)行掃頻源的掃頻, 我們生成了與公式 6-8 相關(guān)的傳遞函數。

實(shí)驗結果

觀(guān)察圖5 的測量結果。

 圖 5：測量的傳遞函數，顯示整體閉環(huán)響應（紅色）、閉環(huán)干擾抑制（藍色）和計算出的激光鎖定系統的開(kāi)環(huán)增益（橙色）。干擾抑制的單增益頻率約為 24 kHz。

紅色軌跡曲線(xiàn)顯示測得的互補靈敏度傳遞函數(公式7), 藍色軌跡曲線(xiàn)顯示了干擾抑制(公式6)。通過(guò)使用數學(xué)計算通道(ChA ÷ ChB )，我們能夠動(dòng)態(tài)地計算開(kāi)環(huán)控制的傳遞函數，如圖5里的橘色軌跡曲線(xiàn)。從藍色軌跡曲線(xiàn)(或者橘色軌跡曲線(xiàn))我們能夠看到穩頻控制環(huán)路擁有高達 ～24kHz的單位增益頻率，同時(shí)相位裕度略大于90度。該系統的穩頻控制帶寬限制來(lái)自 PZT 的機械諧振頻率。我們能夠從這個(gè)圖觀(guān)察到有一個(gè) ～63kHz的機械諧振頻率。所以，進(jìn)一步調節系統到一個(gè)更高的增益可能會(huì )激發(fā)共振，這會(huì )導致在這個(gè)特殊頻率點(diǎn)上的正反饋并破壞系統的穩定性。

另外，我們能夠從開(kāi)環(huán)控制響應(橘色軌跡曲線(xiàn))觀(guān)察到低頻增益達到了60dB。這與藍色軌跡跡曲線(xiàn)中的 -60 dB 擾動(dòng)抑制相對應，同時(shí)表明激光鎖頻/穩頻儀器能夠提供足夠的伺服控制增益來(lái)充分抑制激光頻率噪聲并維持穩定的鎖定。

結論

Moku:Pro基于現場(chǎng)可編程門(mén)陣列 (FPGA) 的靈活方法解決了傳統固定功能測試和測量硬件的許多缺點(diǎn)?；贔PGA 的架構提供了可以在儀器間動(dòng)態(tài)切換的能力。它還提供了同時(shí)使用多個(gè)儀器功能的能力, 例如用 頻率響應分析儀表征激光鎖頻控制環(huán)路的傳遞函數時(shí)用 激光鎖頻/穩頻其維持一個(gè)穩定的鎖頻過(guò)程。多儀器并行模式使優(yōu)化閉環(huán)控制配置的過(guò)程更加直接和高效。直觀(guān)的用戶(hù)界面極大地降低了實(shí)驗搭建的復雜性, 提供了更易于訪(fǎng)問(wèn)和靈活的解決方案。

此外，雖然本應用筆記顯示了一個(gè)利用 PDH 鎖頻方案的示例, 但這種驗證控制環(huán)路響應的方法適用于其他鎖頻技術(shù), 例如 DC 鎖頻、邊緣側鎖頻（fringe-side locking）和傾斜鎖定（tilt locking）, 這些技術(shù)在激光穩頻領(lǐng)域具有廣泛的實(shí)際應用。

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